Не мнимый квадратный корень из минус единицы существует? Да, и он такой

 

Часть 2. Минус один и многознаковые числа

 

Во истину, "Все совсем не так, как на самом деле". Не думал, что еще раз это изречение придется применить, но та потенциальная ситуевина, в которую все последующие рассуждения приводят, в ступор вгоняют даже меня, сильно не боящегося ничего совсем нового и необычного, но тем не менее.

Посему будет большая просьба ко всем читателям, что называется "замочить" сие рассуждения и последующие выводы. Мне, как не старался, пока это сделать не удалось. Не "замочите" - тогда флаг Вам в руки новое исчесление разрабатывать.

 

Теперь по сути вопроса.  Получается, что проблема квадратного корня из минус единицы - это вещь чисто "надуманная", поскольку Модель "Квадрат числа" в общепринятом виде ... это всего лишь частная Модель. Полная же Модель вопрос о минус единица снимает, что называется "на раз", но при этом опять всплывают пресловутые многознаковые числа. Можно конечно и без них, но Модель с ихним участием получается куда понятней. И главное - вроде как строже. Итак по-порядку.

Начну с классики, а именно того, как определяется квадрат числа в учебнике 5 класса. Примерно так:

-------------

Квадрат числа a — это произведение двух множителей, каждый из которых равен a". Квадрат числа a обозначают a². Читают: «a в квадрате». С помощью формулы определение квадрата числа a можно записать так:

 

\[{a^2} = a \cdot a\]

 

Выражение a² назвали квадратом числа a, так как именно такой формулой выражается площадь квадрата со стороной a. Таким образом, чтобы найти квадрат некоторого числа, надо это число взять множителем два раза и вычислить произведение.

-----------

Ну про площадь чуть позднее, а вот про знаки множителей - ни слова. Правда позже находится примерно такое:

----------

Квадрат отрицательного числа

Как найти квадрат отрицательного числа? Что можно сказать о значении квадрата любого числа?

Чтобы найти квадрат числа, надо это число взять множителем два раза.

Соответственно, чтобы возвести в квадрат отрицательное число, надо найти произведение двух множителей, каждый из которых равен этому отрицательному числу.

При умножении отрицательных чисел получаем положительное число. Значит, знак «минус» при возведении в квадрат отрицательного числа уходит:

 

  \[{( - a)^2} = - a \cdot ( - a) = a \cdot a = {a^2}\]

 

Следовательно,  квадрат отрицательного числа равен квадрату противоположному ему числа:

 

\[{( - a)^2} = {a^2}\]

 

Таким образом, значение квадрата любого отрицательного числа равно положительному числу. Квадрат положительного числа является числом положительным. Квадрат нуля равен нулю. Вывод: квадрат любого числа является неотрицательным числом.

---------------------

И так, что  имеем. В соответствии с данной Моделью "квадрата", умножаться друг на друга имеют право только числа, имеющие одинаковые знаки.  А что, умножать числа друг на друга, имеющие разные знаки, но одинаковые по модулю, нельзя в принципе или они в рамках данной Модели "квадрата" просто "вне закона"? Получается, что Да, именно так.

Из чего, в свою очередь следует, что в рамках данной Модели рассмотрение самого факта квадратного корня из минус единицы является бессмысленным (не путать, с несуществующим). Поскольку это свойство недопустимости самого рассмотрения этого, заложено в самой сути этой классической Модели квадрата.

Спрашивается, можно ли и как получить отрицательное число квадрата? Ответ - можно. Но для этого надо допустить, чтобы множители, входящие в Модель квадрата, имели разные знаки. И все. Задача поиска квадратного корня из минус один вырождается в совсем до неприличия элементарную. Вот такая ситуевина. Как говориться "Хочется не хочется, да никуда не свалишь, красавица".

Думаете на этом все? Если бы.

Следующая непонятка. Проще всего это показать на примере единицы. Квадратный корень из 1 дает два значения - плюс единица и минус единица. Точнее два сомножителя со знаками плюс и плюс и два - со знаками минус и минус. В свою очередь  расширенная Модель корня квадратного из минус один также дает две пары чисел - первая пара числа со знаками плюс и минус и вторая - минус и плюс.

Во всех случаях имеем по  2 числа со знаком плюс и 2 - со знаком минус. Из чего напрашивается вывод, что корень квадратный из минус один то же самое, что и из плюс один. Понятно, что по модулю результаты одинаковы, а вот со знаками начинается какая-то чехарда и полная нестрогость. В общем полная неразбериха. Вроде все одно и тоже, а вроде как и нет. Причем складывается такое вполне обоснованное впечатление, что имеет место то, что в бытовухе можно назвать "подмена понятий".

И чтобы это понять, где и что не так, нужно вернуться к истокам, а именно к "площадям". Очень просто графически это изобразить следующим образом. Для числа "а" в квадрате это будет выглядеть так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Исходя из "классического" определения квадрата, то допустимыми.., нет, слово "допустимые" здесь полностью не годится, а потому надо говорить  _существующими_ признаются только два квадрата S1 и S3. Более того, с точки зрения "классики" они НИКАК не различаются... хотя лежат совсем в разных местах.

Скорее всего дело было так. Изначально понятие квадрат числа рассматривался только для положительного значения числа "а". На картинке - это S1. И все. А потом решили, а почему бы на отрицательное значения "а" не распространить то, что уже имелось... Ведь вроде все сходится?  Да, сходится, но только по модулю. А вот "расположение", то бишь знаки потеряны. Ну подумаешь, ведь главное -  вписались же в имеющуюся Модель с минимальными издержками.  Но сказав "А", надо было сказать и "Б", т.е. рассмотреть и "площади-квадраты" S2 и S4, чего сделано то и не было. Сделали бы, и никаких вопросов по корню из минус один и не было бы. А так...

Повторюсь, да, по модулю значения всех "квадратов-площадей" одни и те же, а вот по месту - совсем и нет. И что из этого выходит?  Типа потеряли знаки, ну и фиг с ними? Может конечно в теоретической математике с ее аналитическими выражениями таковое и сойдет, но вот при разработке программного алгоритма такая подобная неоднозначность недопустима. И если это не предусмотреть, то полет программы "до звезд" рано или поздно обеспечен. В третьей части я рассмотрю эти нестрогости и к чему они порой в итоге приводят.

Ну а возвращаясь к сути вопроса видно уже и главную подлянку для "классической" Модели. Это как раз и есть те две нерассмотренные площади, которые добивают ситуацию окончательно.

И все же, как быть с квадратами S2 и S4? Понятно, что от того, что их наличие не рассматривалось, но они никуда не делись и   вопрос о их корректном определении  рано или поздно бы всплыл непременно. И вот он всплыл, и что делать?

Повторяюсь в который раз - по модулю все эти площади одинаковые, а вот их расположение - совсем разное и определяется сочетанием знаков значений "а" по осям X и Y.  Итого получается, что расположение площади S1 определяется знаками "++", S2 - "+-", S3 - "--", S4 - "-+".

Иными словами, точнее элементарной формулой, все это выглядит следующим образом:

 

S1 = ++a2

S2 = +-a2

S3 = --a2

S4 = -+a2

 

Так удается определить площадь квадрата не только по модулю, но и однозначно определить "местонахождение" этой площади. Т.е. 

 

S = Знак a2 .

 

Верно? Конечно НЕТ! Правильно будет только так:

 

Знак S = Знак a2

 

Так, и только так.

 

где а - сторона квадрата, а Знак - двойной знак ("++", "+-", "--",  "-+").

Ну и если совсем "масло масляное":

 

S1 = ++S

S2 = +-S

S3 = --S

S4 = -+S

 

где S - значение квадрата по модулю

 

При этом нахождение стороны квадрата (читай - нахождение квадратного корня) исходя из площади квадрата не представляет никакой трудности во всех вариантах, поскольку  полностью сохраняется знаковая информация, а не теряется, как в классической Модели. И все бы ничего, логично, ежели бы не вылезли на поверхность опять эти пресловутые "двузнаковые" числа. И вполне обосновано вылезли.

А ведь то, что выше приведено, затрагивает базисные основы. И что делать? И ладно бы, если б только двузнаковыми все закончилось. Так нет. "Кубы" и далее по степени, никто не отменял. Соответственно для куба это уже трехзнаковое число и так до "немогу", то бишь до бесконечности?

Небольшое лирическое отступление. Что-то мне вдруг вспомнилась своя студенческая пора, и как порой "недобрым словом" всех этих математических "авторитетов" поминали перед экзаменом. Ну прям как в известной песне "Написавшие тома, для библиотеки" и  "Горемыку-школяра, насмерть не замучат". А тут еще и это навалить?  Так что  читатели, "мочите", но только аргументировано.  Повторюсь, я пока не смог сие сделать. Даже наоборот.

Ну после такого лирического отступления пришло время, точнее необходимость, как вполне заслужено мне было указано, привести Правила выполнения операций с этими многознаковыми числами... И вроде все как пошло вполне естественно, пока не остался последний вариант, и тут вылезло то, что тетка моей супруги называла "Ничего-ничего, и вдруг..., ну то, что обычно на сарае или заборе раньше писали...

Потому это необходимо отдельно обмыслить, и тема операций выезжает в отдельный, следующий материал. Повторюсь - слишком неожиданный результат получается, при том выходящий за рамки данной темы... Что есть очень не здорово. И пока я это не "прокачаю" этот вопрос на сколько смогу,  говорить об этом преждевременно.

Так что на этом пока, все.

PS. Жду _аргументированного_ "мочилова" ;-)

PSS. "Прокачка", как ни странно, идет вполне успешно. И получаются ну очень интересные результаты. Даже для меня.

 

 

Вариант 1. Версия  0007. Дата 23.01.2023

Все права на данный материал принадлежат автору

Автор Абашин Анатолий

При полном или частичном использовании материалов данного документа ссылка на сайт http://aab57.ru/ обязательна