Не мнимый квадратный корень из минус единицы существует? Да, и не только он.

Часть 3. Нестрогость и последствия этого. Крутящийся вектор, знаковые преобразования и потусторонние числа.

И так. Хотел наскоком сразу же перейти к операциям над многознаковыми числами, но... в очередной раз обломался. Поскольку выяснилось, что прежде всего надо очень четко и строго дать определение тому, что это такое многознаковое число. И если такой тип существует, то однозначно определить его. Начал разбираться с этим, и,.. тут вылезла одна очень потенциально-нехорошая ситуация, связанная со знаковыми преобразованиями и последующей нестрогостью получаемых результатов. Замечание Здесь и далее под преобразованием знаков понимается (+)*(+)=(+), (-)*(-)=(+), (+)*(-)=(-), (-)*(+)=(-).

Но сначала необходимо небольшое "лирическое отступление", непосредственно связанное с нестрогостью определений и операций и к чему это в итоге приводит.

Ранее я уже вскользь затронул вопрос нестрогости в выражениях и определениях при разработке ПО, когда принимается некое "по умолчанию". И вот пример того что, в итоге получилось. Специалисты-программисты одной достаточно серьезной компании, для стыковки с ихней системой, решили использовать защиту посылки 16-разрядной контрольной суммой. И дабы избежать недопонимания, приложили исходный текст на базовом "С", эту операцию выполняющую.

Спрашивается, код есть, вставляй в свое ПО и пользуй. Только "фигвам" получился. И если бы всегда все верно считалось, ан нет, где-то в 5-7 процентах случаев откровенная лажа вылезала. Не то значение получалось. И воспринималось системой все это как сбой обмена... Хотя никакого сбоя и в помине не было. Вылечилось все очень просто - перед каждой переменной надо было ее тип и знаковость явным образом указать. Но лень было лишние "буковки" на клаве кому-то набирать. Списали с аналитического выражения - и вперед.

Вроде как все одинаково, ан нет. Поскольку "умолчания" у каждого компилятора свои как правило получились. И те же "стандартизаторы" не озаботились вопросом о том, как тот же int по умолчанию определять, знаковый или просто положительный... И добавлю - скрытые проблемы этой знаковой нестрогости многим неприятности обеспечили. И я тоже столкнулся, и только полное недоверие всему и вся с контролем везде, где это можно, позволили избежать мне совсем не нужных проблем, буквально на пустом месте.

Ну и еще один пример неоднозначности. Уже из аналитических выражений. Это хорошо известное от Задорнова: "Два плюс два умножить на два". Что примерно соответствует "Казнить нельзя помиловать". И тут достаточно поставить запятую, и все хоть как-то встанет на свое место. Или слово "умножить" заменить на "умноженное". Т.е., если написано "Два плюс два, умножить на два" то это 8, а если "Два, плюс два умноженное на два" - это 6, а если "Два плюс два, умноженные на два " - то 8. Где-то так. Поскольку про _скобки_ в выражениях не стоит забывать никогда. Лучше уж пусть будет "масло-маслянное", чем неопределенность.

Или еще аналогичный и сильно поучительный пример, сейчас нашедший широкое распространение в инете:

https://www.youtube.com/watch?v=3qn966l9bxk

А все это во многом из-за того, что очередная лень, лень скобки поставить, типа, по умолчанию и так сойдет. В итоге как-то часто "мимо тазика с оркестром".

К чему это все я. А к тому, что если что-то строго не определено, не объявлено и идут ссылки на то, что ну типа "так всегда было", это же "общепринято" и тому подобное, на выходе может быть все что угодно, как правильный, так и неверный результат.

Спрашивается, а какое все это отношение имеет к этому самому пресловутому квадратному корню из минус одЫн? Да непосредственное. Поскольку в данном случае сразу рассматривается "обратная" операция, на при этом не определена "прямая". Иными словами, четко не определив, что есть квадрат числа, невозможно дать ответ и на вопрос о корне, в данном конкретном случае для "минус один".

В этом случае, ничего иного, как только сказать, что "пусть корень квадратный из минус один будет называться мнимой единицей "i"", ничего не остается. Да и не может быть. Из чего следует, что как бы "корень квадратный из минус один" не возводить в квадрат, всегда будет "i" в квадрате, а не "1" или еще что-то из вещественной части.

Иными словами, такая Модель основывается на том, что квадратом считается только (+1)*(+1) и второй вариант (-1)*(-1). И ничто иное не предусмотрено, не рассматривается и не допускается.

Повторюсь - для данной Модели корень квадратный из минус 1 - это всеми признанное "i". И, главное, никакому "раскрытию" "i" не подлежит и никуда деться и ни во что превратиться не может. И уж тем более в вещественное число преобразованию никоим образом НЕ подлежит.

Потому и комплЕксное число в рамках данной Модели состоит из двух "непересекающихся" частей. Нельзя установить "связь" между ними. И никогда из мнимого числа не получить вещественное и наоборот. Повторюсь - это результат того, что данная Модель этого НЕ предусматривает этого на уровне исходных данных. Для удобства рассмотрения назовем это Моделью с парадигмой v.1.0

Но возможна и Модель с парадигмой v.2.0. Главное отличие ее от предыдущей в том, что в ней квадратом также считается и такое выражение, как (+1)*(-1), и (-1)*(+1), в результате которого и получается "-1". Но возникает закономерный вопрос - а это "-1" и их исходные данные являются вещественными числами в полном их понимании? Или это те же самые мнимые, или это какие-то "другие" числа? И если другие, то какие?

Чтобы это понять, необходимо опять вернуться к картинке с площадями из второй части.

Кратко напомню, что получается, если не преобразовывать знаки:

S1 = ++a²

S2 = +-a²

S3 = --a²

S4 = -+a²

И, соответственно:

S1 = ++S

S2 = +-S

S3 = --S

S4 = -+S

где S - значение квадрата по модулю

А если применить стандартное преобразование знаков, то получим:

S1 = S3 = +S

S2 = S4 = -S

Такое странным не кажется? И как это правильно и корректно трактовать? Что, допускается рассматривать только два "верхних" квадранта, а нижнюю пару спустить в "утиль", и при этом искренне верить, что никакая инфа при знаковом преобразовании не потеряна?

Взяли это на заметку и вернемся к этому "знаковому" вопросу чуть позже, а сейчас рассмотрим парадигму v.3.0, в которой, в отличии от предыдущей версии знаковое преобразования не выполняется.

В этом случае получаем, что

S1 = ++S

S2 = +-S

S3 = --S

S4 = -+S

И, при этом, в отличии от парадигмы v. 2.0, S1 != S3 и S2 != S4, что вообще-то соответствует реальности, показанной на картинке. Но спрашивается, и что со всем этим делать, как трактовать и называть? И чтобы разобраться с этим, можно вспомнить, что квадрат может быть однозначно определен не только параметром "а", но и вектором, проходящим из точки с координатами 0.0 в противоположный угол, который в свою очередь однозначно определяется его длиной и углом наклона.

Но как только вектор нарисован, сразу же возникает соблазн "крутануть" его и посмотреть, что при этом произойдет. Но крутануть его таким образом, чтобы постоянной осталась не его длина, а та площадь, которую он совместно с углом наклона определяет. Да, при этом квадрат превращается в прямоугольник, но подчеркну еще раз - все той же площади "S".

Как это выглядит и что получится, если вектор "повернуть" - на картинке ниже.

И вот что получилось. Хотя, честно сказать ничего особенно нового. Но самое интересное происходит в тот момент, когда вектор переходит с одной стороны оси "Х" на другую. В момент перехода с одной стороны на другую сторону его "длина" становится равной бесконечности. Так сказать некая "особая точка". А далее все то же самое происходит при пересечении оси "Y" в ее отрицательной области, затем оси "Х" в области отрицательных значений, оси "Y" в области положительных и... вернулись обратно в первый квадрант. На рисунке ниже это показано.

А если рассмотреть Модель v.2.0 (со знаковыми преобразованиями), то получим следующее.

Нижняя часть (ниже оси "Х") "просто" исчезнет, а вектор, после "бесконечность по оси Х+", появится на той же оси Х, но только в ее отрицательном значении. Вот так, ни много ни мало, да еще в добавок заполучили "пресловутый разрыв", что ну совсем не дело.

Получается, что либо знаковое преобразование в данном случае использовать нельзя, либо доказать, что не смотря ни на что потери информации нет. Вообще то, если первое, то это, как бы помягче сказать... Ну и так понятно, что плохо. Вопрос только, на сколько. Т.е. это только частный случай, и не более того. А ежели "того"? Но вопрос встал, и на него придется рано или поздно давать аргументированный ответ.

Ну а теперь пришла пора определиться с названием этих "новых" чисел, их возможным представлением и операциях над ними. Начнем с названий.

Прежде всего надо четко и однозначно определить, что используемый термин "мнимое число" относится исключительно к Модели v.1.0, и на другие модели распространяться не может. Просто по своему определению. Ранее еще были термины "Полумнимые", "Многознаковые". А может просто "Потусторонние"? Причем надо сразу четко и ясно понять, что это термин не имеет никакого отношения к ведьменьщине, чертовщине и прочему подобному. Просто эти числа лежат по разные стороны от осей координат. По ту сторону и по эту сторону. И не более того. Причем, этот термин "потусторонние", имеет более широкое значение, чем "многознаковые", и вот почему.

Связано это с их представлением. Просматривается три варианта их представления. Первый - в качестве сомножителей "ах" и "аy" с обязательным сохранением их знаков. Второй - это значение площади "S" с указанием (умножением на) весовые коэффициенты "кх" и "ку" так же с сохранением знаков по соответствующим осям и третий - в виде векторного представления.

Для удобства назовем первое представление v. 3.1, второе представление v. 3.2 и третье представление v. 3.3. Понятно, что все три версии представления позволяют однозначно определить параметр "S". Но вот какое представление лучше, а какое хуже - определяется тем, на сколько удобно можно будет выполнять операции над данными числами. Поэтому рассмотрим их (в смысле операций) подробнее.

Но это будет сделано уже в четвертой части. Поскольку это тема отдельная и большая... А еще остался вопрос о знаковых преобразованиях и их последствиях... Но это уже совсем другая история.

Вариант 1. Версия 0011. Дата 14.02.2023

Все права на данный материал принадлежат автору

Автор Абашин Анатолий

При полном или частичном использовании материалов данного документа ссылка на сайт http://aab57.ru/ обязательна